Jak określić sztywność zastępczą podpór?

W projektowaniu często zakładamy pewne mniej lub bardziej uzasadnione uproszczenia w celu obliczenia poszczególnych elementów konstrukcji, jak stropy itp. Jednym z nich jest poprawne zdefiniowanie warunków brzegowych, czyli podpór konstrukcji.

Może nieraz zastanawiacie się czy uwzględnianie podatności słupów czy ścian przy wymiarowaniu stropu ma sens? A jeśli już ma, to jaki ma to wpływ na wyniki obliczeń?

W tym tekście przedstawię Wam jakie są skutki stosowania podpór sztywnych i podatnych w projektowaniu stropu. Pokażę również jak prosto określić sztywności zastępcze podpór takie jak słupy czy ściany.

Przy tej okazji przygotowałem też dla Was prezent! Na potrzeby tego artykułu stworzyłem kalkulator do określenia zastępczych sztywności podpór. Link znajduje się na końcu tekstu.

Kiedy uwzględnienie podatności podpór ma sens?

Generalnie jest kilka sytuacji, kiedy uwzględnienie podatności podpór ma istotne znaczenie. Są to m.in.:

  • podpory z materiałów o znacznej różnicy sztywności – np. beton, stal, mur,
  • podpory o zróżnicowanych przekrojach poprzecznych (np. występowanie w jedym układzie słupów wiotkich i krępych lub mieszanka słupów i ścian),
  • konstrukcje o zróżnicowanym osiadaniu fundamentów,
  • odwzorowanie właściwej pracy naroży i końców ścian (ryzyko powstania sztucznego momentu zamocowania).

We wszystkich tych sytuacjach występuje spore ryzyko błędnych wyników przy obliczeniu stropów lub belek opartych na sztywnych podporach (np. reakcji podporowych i sił wewnętrznych). W rzeczywistości każda podpora jest – mniej lub bardziej – podatna, co wpływa bezpośrednio na rozkład sił w konstrukcji.

Weźmy prosty przykład – strop oparty na ścianach, gdzie jeden narożnik płyty jest podpierany przez naroże ściany (por. rysunek poniżej).

Sztywność podpory

Rys. 1 Geoemtria stropu

Dane modelu: beton C25/30, rozpiętość stropu: B/L = 7.0/7.0 m, wysokość kondygnacji: H = 3.5 m, grubość stropu: h = 0.20 m, grubość ścian: hs = 0.20 m, obciążenie qk = 10.0 kN/m2.

Przeanalizujemy 2 warianty:

  • wariant (1) – płyta oparta na ścianach niepodatnych (podpory sztywne),
  • wariant (2) – płyta oparta na ścianach z uwzględnieniem ich podatności.

(Sposób określenia zastępczej sztywności ściany opiszę dokładnie w drugiej części tekstu). Wyniki obu wariantów wyglądają następująco:

Wyniki dla obu wariantów (1) i (2)

Parametr Wariant (1) Podpora sztywna Wariant (2) Podapora podatna (1)/(2)
Max reakcja podporowa – naroże [kN/m] 1607 820 196%
Wartość średnia reakcji – naroże [kN/m] 185.6 134.8 138%
Ugięcie w środku przęsła [mm] 2.65 3.04 87%

Jak pokazują wyniki obliczeń nieuwzględnienie podatności ścian powoduje lokalnie prawie 2-krotne zawyżenie reakcji podporowej względem podpory z uwzględnioną podatnością. Przy sztywnym połączeniu, niemal cała reakcja stropu jest skoncentrowana na niewielkim odcinku w obszarze naroża, co nie odpowiada rzeczywistej pracy podpory (por. rys.2).

Sztywność podpory Sztywność podpory
Podparcie sztywne Podparcie podatne

Rys. 2 Reakcje podporowe stropu – podparcie sztywne (po lewej/góra), podparcie podatne (po prawej/dół)

Dodatkowo, tuż za tym spiętrzeniem reakcji występuje reakcja o znaku przeciwnym do spodziewanego (dodatkowy moment utwierdzenia). W przypadku podpory podatnej przebieg reakcji jest zgodny z intuicją – por. rys.3. Średnia wartość reakcji podporowych na analizowanym odcinku ściany różni się pomiędzy wariantami (1) i (2) o 38%.

Sztywność podpory Sztywność podpory
Podparcie sztywne Podparcie podatne

Rys. 3 Reakcje podporowe stropu w ujęciu wektorowym – podparcie sztywne (po lewej/góra), podparcie podatne (po prawej/dół)

Jeśli spojrzymy na ugięcia płyty na rys.4, to okazuje się, że wartość maksymalnego ugięcia w środku pola stropu jest mniejsza dla modelu z podporami sztywnymi (u = 2.65 mm) w porównaniu od modelu z podporami podatnymi (u = 3.04 mm). Względna rożnica ugięć pomiędzy wariantem (1) i (2) wynosi 100% – 87% = 13%. Powodem zaniżenia wartości ugięcia płyty opartej na ścianach sztywnych jest dodatkowy moment utwierdzenia powstały w narożu ściany, który „podnosi” przęsło płyty.

Sztywność podpory Sztywność podpory
Podparcie sztywne Podparcie podatne

Rys. 4 Ugięcie stropu – podparcie sztywne (po lewej/góra), podparcie podatne (po prawej/dół)

Ten prosty przykład pokazuje jak duże znaczenie ma rzeczywiste odwzorowanie warunków brzegowych stropów.

Przejdźmy teraz do sposobu określenia sztywności zastępczej podpory.

Sztywnosć zastępcza podpory

Aby określić zastępczą sztywność podpory i uzyskać bardziej rzeczywiste wyniki sił wewnętrznych i reakcji podporowych należy uwzględnić parametry tej podpory. Są to:

  • geometria przekroju podpory,
  • rodzaj materiału podpory,
  • długość elementu podpierającego (podpory).

W zależności od kierunku działania podpory rozróżnia się kilka rodzajów sztywności. Najczęściej spotykane i wykorzystywane w praktyce projektowej to:

  • sztywność podłużna (kierunek względem osi Z) – współczynnik kZ,
  • sztywność obrotowa (kierunek X i Y) – współczynniki kX i kY.

Interpretacja fizyczna współczynnika kZ [kN/m] mówi o tym jaka siła konieczna jest do uzyskania jednostkowego przemieszczenia elementu. Podobnie jest dla współczynników kX i kY – dotyczą jednostkowego obrotu węzła.

Współczynniki kZ, kX i kY możemy odpowiednio określić dla słupa lub ściany i są obliczane na podstawie poniższych wzorów. Równania te oparte zostały na wzrorach transormacyjnych metody przemiszczeń.

Podatność słupa

Podatność podłużna:

    \[k_Z = \frac{EA}{L}\ [kN/m]\]

Podatność na obrót:

    \[k_X = \alpha \frac{E I_X}{L}\ [kNm/rad]\]

    \[k_Y = \alpha \frac{E I_Y}{L}\ [kNm/rad]\]

gdzie: E – moduł sprężystości materiału podpory [GPa], A – pole powierzchni przekroju poprzecznego podpory [m2], L – długość podpory (zwykle wysokość kondygnacji) [m], I_X, I_Y – moment bezwładności przekroju podpory względem osi X i Y, \alpha – zakłada się \alpha = 3, kiedy koniec podpory jest zamocowany przegubowo; \alpha = 4 – kiedy koniec podpory jest zamocowany w pełni (utwierdzony) – por. rys.5.

Sztywność podpory

Rys. 5 Interpretacja współczynnika \alpha – podparcie sztywne (po lewej/góra), podparcie podatne (po prawej/dół)

Uwaga: W przypadku stropu, w którym istnieje dodatkowo słup górny (nad stropem), wartości kX (lub kY) sumujemy (np. k_X = k_{X.gora} + k_{X.dol}).

Podatność ściany

Podatność podłużna:

    \[k_Z = \frac{EA'}{L}\ \ [kN/m/m]\ lub\ [kN/m2]\]

Podatność na obrót:

    \[k_X = \alpha \frac{E I_X'}{L}\ \ [kNm/m/rad]\ lub\ [kN/rad]\]

gdzie: E – jw., A' – pole powierzchni przekroju poprzecznego na 1 mb ściany [m2/mb], L – jw., I_X' – moment bezwładności przekroju na 1mb ściany względem osi X [m3/mb], \alpha – jw.

Uwaga: W przypadku stropu, w którym istnieje dodatkowo ściana na górze (nad stropem) wartości kX sumujemy (k_X = k_{X.gora} + k_{X.dol}).

Wzory te można stosować zarówno do podpór żelbetowych, murowych czy stalowych. Należy jedynie podstawić odpowiednie wartości modułu Younga.

Przykład obliczeniowy

Przetrenujmy teraz na konkretnym przykładzie stropu podpartego słupami żelbetowymi.

Dane

Słup dolny, połączony ze stropem monolitycznie:

  • b = 0.30 m
  • h = 0.40 m
  • L = 3.00 m
  • Ec = 32.0 GPa (beton C30/37)

Słupa górny – brak

Obliczenia

A = b h = 0.30m \cdot 0.40m = 0.120\ m^2

I_X = \frac{b h^3}{12} = \frac{0.30m \cdot (0.40m)^3}{12} = 0.0016\ m^4

I_Y = \frac{h b^3}{12} = \frac{0.40m \cdot (0.30m)^3}{12} = 0.0009\ m^4

Sztywności zastępcze podpór:

k_Z = \frac{E A}{L} = \frac{32.0GPa \cdot 0.12m^2}{3.00m} = 1 280 000\ kN/m

k_X = \alpha \frac{E I_X}{L} = 4 \cdot \frac{32.0GPa \cdot 0.0016m^4}{3.00m} = 68 267\ kNm/rad = 1 191.5\ kNm/deg

k_Y = \alpha \frac{E I_Y}{L} = 4 \cdot \frac{32.0GPa \cdot 0.0009m^4}{3.00m} = 38 400\ kNm/rad = 670.2\ kNm/deg

Na koniec mały prezent :)

Jak widzicie, dzięki podanym wzorom jesteście w stanie określić sztywność zastępczą podpór stropu. Wzory są proste i uniwersalne.

Na koniec przygotowałem dla Was prezent! Na potrzeby tego artykułu stworzyłem kalkulator do określenia zastępczych sztywności słupów i ścian. Dodatkowo, rozbudowałem go o opcję częściowego zamocowania w przedziale 0% (przegub) do 100% (utwierdzenie). Plik możecie ściągnąć pod tym linkiem. Miłego korzystania!

Z pozdrowieniami,

2 komentarze

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *